Una vez simbolizada la expresión del
lenguaje natural nos interesa conocer si esa fórmula lógica
representa una argumentación correcta.
Las tablas de verdad constituyen un
método mecánico que podría ser efectuado por una máquina para
decidir si una fórmula bien formada en lógica de enunciados es o no
correcta.
1.
Valores de Verdad de las Conectivas.
Habíamos diferenciado una serie de
palabras del lenguaje natural como expresiones formales a las que
adjudicábamos una concreta conectiva lógica.
Por ejemplo,
en el lenguaje castellano pueden utilizarse las expresiones
siguientes "y", "pero", "también"…, como expresiones formales. Todas
esas expresiones puede que sean traducidas en el lenguaje de la
lógica con la misma, la conectiva conjuntor.
Lo que tienen en común las distintas
expresiones del lenguaje para ser simbolizadas por el mismo símbolo
lógico es el valor de verdad del enunciado molecular resultante de
aplicar unas u otras expresiones.
Por ejemplo,
los siguientes enunciados moleculares:
1. Luis y
Pedro van al cine.
2. Luis va
al cine, pero Pedro también va al cine.
3. Luis va
al cine. Pedro va al cine.
4. Luis va
al cine, sin embargo Pedro también va al cine.
se
simbolizará en lógica de enunciados con la misma expresión “p Ù
q” porque todos ellos serán verdaderos en las mismas condiciones; es
decir, sólo en el caso de que Luis vaya al cine y de que Pedro
también vaya, y serán falsas si alguno de los enunciados atómicos
que constituyen el molecular fuera falso.
Pues bien, de lo que se trata es de
establecer esa misma información, para cada uno de los distintos
conectores, en una tabla.
En esa tabla deberán registrarse el
valor de verdad que adquiere el enunciado molecular afectado por las
distintas conectivas, a partir del valor de verdad que adquieren, en
cada caso, los enunciados componentes.
Y así, por
ejemplo, si tenemos en el lenguaje natural el enunciado molecular
"Luis y Pedro van al cine", podemos establecer en qué condiciones
ese enunciado molecular es verdadero, y en cuales falso, a través de
una tabla. El resultado vendrá a mostrar que sólo cuando los dos
enunciados atómicos que forman el molecular son verdaderos el
enunciado molecular lo es. Justo esto es lo que significa la
conectiva lógica denominada “conjuntor”. Por tanto, lo que tendremos
es una tabla de verdad que representa los valores de la conjunción
lógica:
Luis va al cine
Pedro va al cine
Luis y Pedro van al cine
Verdadero
Verdadero
Verdadero
Verdadero
Falso
Falso
Falso
Verdadero
Falso
Falso
Falso
Falso
Una tabla de verdad es un
cuadro o diagrama que presenta los posibles valores de verdad de un
enunciado más o menos complejo, determinado por cierta conectiva, y
en correspondencia con los valores de verdad posibles de sus
enunciados componentes.
En toda tabla de verdad hay una o
varias columnas de referencia que son aquellas donde se
registran todos los casos posibles de valores de verdad de los
enunciados componentes, y hay una única columna de resultado
que es donde se anotan los valores de verdad del enunciado total al
que se refiere la tabla y que por convenio se distingue de las
columnas de referencia en que está doblemente barrada.
Y así, siendo las letras “A, B”
símbolos para cualquier enunciado, atómico o molecular, de lógica de
enunciados, y asignándoles los distintos
valores de verdad que representaremos con las letras V y F
[1],
en lo que sigue vamos a representar gráficamente las distintas
tablas de verdad para cada uno de las conectivas.
Como la
conjunción representaba una estructura argumentativa tal que
el enunciado molecular era verdadero sólo cuando ambos
enunciados constituyentes lo eran también, entonces:
Es importante
darse cuenta que A y B sirven para representar cualquier enunciado,
molecular o atómico, de lógica de enunciados. Por eso, la tabla, no
sólo dice que condiciones de verdad tiene un enunciado como “pÙq”,
sino que sirve también para cualquier enunciado que tenga como
conectiva principal a la conjunción.
Por ejemplo,“¬
(p Ú
¬q) Ù
(r ®
¬ p)”. En este caso A representaría “¬ (p
Ú
¬ q) “ y B “(r ®
¬ p)”. El enunciado molecular “¬ (p
Ú
¬q) Ù
(r ®
¬ p)”, sólo será verdadero si, como dice la tabla, A= ¬(p Ú
¬ q) lo es y B = (r ®
¬ p) también lo es, en otro caso sería falso.
La
contravalencia se define como aquel enunciado molecular que
es falso cuando ambos enunciados componentes son verdaderos o
ambos falsos, y que es verdadero en otro caso. Su tabla es:
La
disyunción o disyunción inclusiva se definía como aquel
enunciado molecular que sólo es falso cuando los dos
enunciados que lo componen lo son, y que en otro caso es
verdadero. Su tabla de verdad es:
En una
implicación se denomina al enunciado que es condición del otro
antecedente, y al que está condicionado por el anterior
consecuente.
La
implicación se define como el enunciado molecular que
únicamente es falso cuando el antecedente es verdadero y el
consecuente falso, y es verdadero en cualquier otro caso. Su
tabla es:
A
B
A
®B
V
V
V
V
F
F
F
V
V
F
F
V
Respecto a
la equivalencia ésta se define como el enunciado
molecular que es verdadero cuando ambos enunciados componentes
sean verdaderos o ambos falsos; en otro caso será falso. Y su
tabla de verdad es la siguiente:
Por último, la negación,
se define como el enunciado molecular que es verdadero cuando el
enunciado negado es verdadero, y que es falso cuando el
enunciado negado es verdadero. Su tabla de verdad es:
Para establecer el valor de verdad de
un enunciado molecular se recurre al principio de extensionalidad,
que dice que tal valor depende del valor de verdad de los enunciados
componentes en relación con el tipo de conectiva que los une, y eso
es justamente lo que queda representado en una tabla de verdad.
En una tabla de verdad deben estar
representadas todas las posibilidades de valores de verdad de los
enunciados componentes. Estas posibilidades crecen a medida que haya
más letras enunciativas distintas.
Por ejemplo,
supongamos la siguiente fórmula lógica: (p ®
q) ®
(¬pÚq). En ella hay
cuatro letras enunciativas, pero sólo dos —p y q— distintas.
Para saber el número de filas que
tendrá nuestra tabla lo calcularemos con la siguiente formula: 2n,
donde "n" es el número de letras enunciativas distintas.
En el caso
del ejemplo n=2, luego 22 será el número de filas; es
decir 4. Sin embargo, si la fórmula hubiera sido: (p Ù
q) Ú (r «
p), hubiéramos tenido tres letras enunciativas distintas, y por
tanto n=3, luego saldrían 23 filas, lo que haría un total
de 8.
Para disponer las distintas filas,
sin repetir las asignaciones de valores de verdad para los
enunciados atómicos componentes, es interesante hacer lo siguiente:
una vez que ya sabemos el número de filas total de la tabla
pondremos, para la primera letra enunciativa, la mitad de valores
de su columna V y la otra mitad F. Para la siguiente columnas se
obrará igual, pero haciéndolo sobre la mitad de la mitad; es decir,
la mitad de la mitad V y la mitad de la mitad F, hasta completar la
columna. Para cada nueva columna se obrará recursivamente igual,
añadiendo una “mitad de la mitad”.
Por ejemplo, si fueran 3 las
letras enunciativas distintas tendríamos que el número de filas
sería 8, luego
p
q
r
V
V
V
V
F
F
F
F
Para la siguiente letra
enunciativa distinta la mitad de la mitad corresponderá a V y la
otra mitad de la mitad corresponderá a F, repitiendo el proceso
hasta completar el número de filas.
p
q
r
V
V
V
V
V
F
V
F
F
V
F
V
F
F
F
F
Y así se seguirá con las demás
letras enunciativas distintas se hará lo mismo pero añadiendo
una mitad más.
p
q
r
V
V
V
V
V
F
V
F
V
V
F
F
F
V
V
F
V
F
F
F
V
F
F
F
Después pasaremos a poner los valores
de verdad a los enunciados moleculares más simples de los que las
letras enunciativas forman parte, y así irá subiéndose en
complejidad hasta llegar a la conectiva principal.
Por ejemplo, de la fórmula: (p
Ùq) Ú(r «
p), su tabla sería:
p
q
r
p
Ùq
r
«
p
(p
Ù
q)
Ú
(r
«
p)
V
V
V
V
V
V
V
V
F
V
F
V
V
F
V
F
V
V
V
F
F
F
F
F
F
V
V
F
F
F
F
V
F
F
V
V
F
F
V
F
F
F
F
F
F
F
V
V
Otro ejemplo; la tabla de la fórmula
(p ®q) ®
( ¬p Ú
q) sería:
p
q
¬p
(p
®
q)
( ¬p
Ú
q)
(p
®
q)
®
( ¬p
Ú
q)
V
V
F
V
V
V
V
F
F
F
F
V
F
V
V
V
V
V
F
F
V
V
V
V
Cuando en
la columna de resultados —la doblemente barrada— tengamos todos los
valores "V" llamaremos a la fórmula o argumento que los da
Tautología y entenderemos que el argumento es correcto.
Cuando la columna de resultados tenga
algún o algunos, pero no todos, "F" diremos que la formula es
Contingente y entenderemos que el argumento es incorrecto.
Y por último, cuando todos los
resultados de la columna sean "F" diremos que el argumento es una
Contradicción y será también incorrecto.
[1]
Tanto A, B, como V, F, son expresiones del metalenguaje de lógica de
enunciados, ya que se usan para hablar sobre expresiones de lógica
de enunciados.
[2]
Los argumentos son segmentos lingüísticos formados por premisa, o
premisas, y conclusión. Un caso especial de argumento es el que
parte de cero premisas.
Esta página se
actualizó por última vez el
18/03/2010
